梯度折射率光纤光学系统之自聚焦透镜的特性、

     长度为l的自聚焦透镜位于空气中，一条平行光以高度为h入射在透镜输入端面，该光线通过透镜的出射光线为BF'，B是光线的出射点，F'是光线与透镜光轴的 交点。根据几何光学理论，F'为自聚透镜的像方焦点，反向延长BF'与平行光的延长线相交于Q点，过Q'点作光轴的垂线交光轴于H'点，H'点即为自聚焦 透镜的像方主点，H'到F'的距离即为自聚焦透镜的焦距f'，H'到输出端面的距离为lH'。过B点作曲线的切线交平行光的延长线于C点，则CB方向即为 光线在输出端面B点的入射方向。再过B点作光轴的平行线BD。

      n(r)为B点的透镜折射率。因为平行光入射在自聚焦透镜的输入端面，不管其入射高度为多大，光线在透镜内的传播轨迹为余弦函数形式，即有当求出曲线上B点的斜率后，即可求得，即

     当l有一定长度，即B点离光轴不太远时，可近似地用n(0)来代替n(r)，在近轴区域内用其角度值来代替正切值和正弦值，可得

由此可见, 长度为l的自聚焦透镜的焦距f'为

又因为B点的半径rB可求得

所以自聚焦透镜的主面位置lH'为

自聚焦透镜的焦点位置lF'为

对自聚焦透镜的物方焦距等参数也可用同样的方法求得。

由自聚焦透镜的焦距表达式可看出，当参数确定后，透镜的焦距f'取决于透镜的长度l，且透镜的焦距呈周期性变化。

f'为极小值，且k为偶数时，f'为正值，k为奇数时，f'为负值。

虽然我们已求出了自聚焦透镜的各种参数，但以这些参数来求自聚焦透镜的物像关系，尤其是通过图解法来求其物像关系，往往是很繁杂的。若以几何光学的等效光组来代替上述自聚焦透镜，则可使问题变得简单。下面以的自聚焦透镜为例（等效光组的情况很复杂，参见“实用光学设计方法和现代光学系统”一书，机械工业出版社1995），来说明其成像关系。

三、自聚焦透镜成像

对的自聚焦透镜，求得，且透镜的物方焦点和像方 焦点分别位于透镜的输入和输出端面。在近轴成像情况下，,物方焦面和像方主面重合，此面也是透镜的输入端面；像方焦面和物方主面重合，此面也是透镜的输出端面。因此的自聚焦透镜完全可以看成是一个单光组成像系统。若用薄透镜来表示，则上述自聚焦透镜可用二个单薄透镜来等效，二个薄透镜的焦距fL'分别等于的自聚焦透镜的焦距，即

二个薄透镜的间隔d=fL'，且自聚焦透镜的输入和输出端面分别和前后薄透镜重合。